Condición necesaria de alcanzabilidad:

Suponga que una marca destino M_d se alcanza desde una marca M₀ a través de una secuencia de disparos ${u_1, u_2,\ldots ,u_d}$. Escribiendo la ecuación de estado (2.1) para $j=1,2,\cdots,d$ y sumándolos tenemos el siguiente desarrollo:

 

M₁ = M₀ + A^Tu₁

M₂ = M₁ + A^Tu₂ = M₀ + A^Tu₁ + A^Tu₂

M₃ = M₂ + A^Tu₃ = M₀ + A^Tu₁ + A^Tu₂ + A^Tu₃

$$\vdots$$

$$M_0 + A^T\sum_{k=1}^d u_k$$ M_d = (2.2)

La ecuación 2.2 puede escribirse como:

$$A^Tx = \Delta M$$ (2.3)

donde $\Delta M = M_d - M_0$ y $x=\sum_{k=1}^d u_k$. El vector columna x de dimensión $n\times 1$, con entradas de enteros no negativos, se denimona vector de conteo de disparos. La i-ésima entrada de x denota el número de veces que la transición i se debe disparar para transformar M₀ en M_d. Además de [25] se tiene que el conjunto de ecuaciones algebraicas lineales 2.3 tiene una solución x, sí y solo sí, $\Delta M$ es ortogonal a cada solución y de este sistema homogeneo:

 

Ay = 0 (2.4)

Sean r el rango de A, y la siguiente partición de A


donde A₁₂ es una matriz cuadrada no singular de orden r. Un conjunto de (m-n) soluciones linealmente independientes y para 2.4 se puede dar como los (m-r) renglones de la siguiente matriz B_f de $(m-r)\times m$ elementos

$$B_f = [I_{\mu} : -A_{11}^T(A_{12}^T)^{-1}]$$

donde $I_{\mu}$ es la matriz identidad de orden $\mu = m-r$. Note que AB_f^T=0, lo que quiere decir es que el espacio vectorial obtenido por los vectores renglón de A es ortogonal al espacio vectorial obtenido por los vectores renglón de B_f. La matriz B_f corresponde a la matriz de circuito fundamental para el caso de grafos marcados[20]. Ahora, la condición de que $\Delta M$ sea ortogonal a cada solución para Ay=0 es equivalente a la siguiente condición:

$$B_f\Delta M=0$$

Así, si M_d es alcanzable desde M₀, entonces el vector correspondiente x de conteo de disparos, debe existir y ser válido.