next up previous contents index
Siguiente: El determinante del reticulado Subir: Retículas inducidas por los Anterior: Retículas inducidas por los   Índice General   Índice de Materias


Las bases del reticulado

El punto de referencia en cada copia del mosaico propio produce un conjunto de puntos $ \mathcal{L}\in\mathbb{Z}^2$ separados de manera homogénea (figura 3.7derecha). Cualquier punto de ese conjunto puede ser el origen del espacio de puntos de referencia.

Podemos decir que el conjunto de puntos $ \mathcal{L}$ forma un grupo bajo la suma de vectores y cada uno de esos puntos es el centro de una bola topológica en el plano, que no contiene algún otro punto de $ \mathcal{L}$ ; que es una de las propiedades necesarias para que el conjunto de puntos usado defina un reticulado.

Si $ A,B,C,D\in\mathcal{L}$ , (figura 3.7 derecha) y si existe un vector que parte de $ A$ y llega a $ B$ sin incluir algún otro punto de $ \mathcal{L}$ , entonces para algún otro punto $ C\in\mathcal{L}$ debe existir un vector que llegue al punto $ C+(B-D)$ . Entonces este reticulado es cerrado bajo la operación $ C+(B-D)$ , pero si hacemos el punto $ C$ el origen, el reticulado es cerrado bajo la operación $ B-D$ , que ahora dice que $ \mathcal{L}$ es un subgrupo aditivo del espacio vectorial $ \mathbb{R}^2$ , en donde todas las entradas de las coordenadas de todos los puntos de $ \mathcal{L}$ son números enteros; que es la otra propiedad que necesitamos para que los puntos definan un reticulado.

El siguiente paso es hacer una partición del espacio uniendo con líneas rectas algunos de esos puntos, lo que produce el reticulado del mosaico propio. Si $ m\in \mathcal{M}^{(\ast)}$ es el mosaico propio, entonces $ \mathcal{L}_m$ es el reticulado del espacio respecto del mosaico propio $ m$ (figura 3.8).

Figura 3.8: Paralelepípedos formados a partir de una de las bases de la malla de la figura 3.7.
Image grid03

Si $ \mathcal{L}$ es un reticulado en el $ n-$ espacio, existen $ k$ vectores linealmente independientes $ v_1,v_2,\dots,v_k;k\leq n$ , tales que $ \mathcal{L}$ consiste de todos los puntos de la forma $ m_1v_1+m_2v_2+\dots+m_kv_k$ , donde $ m\in\mathbb{Z}$ y $ 1\leq i \leq k$ . Tal conjunto de vectores se llama la base del reticulado y $ k$ es la dimensión del reticulado [59].


next up previous contents index
Siguiente: El determinante del reticulado Subir: Retículas inducidas por los Anterior: Retículas inducidas por los   Índice General   Índice de Materias
Abdiel Caceres-Gonzalez Feb-07-2005